Obliczenie kredytu hipotecznego

Wyprowadzenie ogólnego wzoru na rate kredytu hipotecznego oraz składową kapitałową i odsetkową dla okresu l dla raty stałej.

N - kwota kredytu

n - liczba miesiecy

r - roczna stopa procentowa

R - rata miesieczna

c - czesc kapitalowa raty

I - czesc odsetkowa raty

z_i - zadluzenie w miesiacu

$$ z_0 = N $$

$$ z_1 = z_0 \cdot (1+\frac{r}{12}) - R $$

wprowadzając podstawienie q zdefiniowane jako

$$ q = 1 + \frac{r}{12} $$

które określa oprocentowanie jednorazowe przy załozeniu rozliczania miesiecznego (12 okresów rozliczeniowych w roku), otrzymamy

$$ z_1 = z_0 \cdot q - R $$

$$ z_2 = z_1 \cdot q - R $$

$$ \vdots $$

$$ z_n = z_{n-1}\cdot q - R $$

co po podstawieniu kolejnych wyrazów

$$ \begin{split} z_1 & = z_0 \cdot q - R \\ \\z_2 & = \left( z_0 \cdot q - R \right) \cdot q - R \\ & = z_0 \cdot q \cdot q - R \cdot q - R \\ & = z_0 \cdot q^2 - R(q + 1) \\ \\ z_3 & = z_2 \cdot q - R \\ & = \left( z_0 \cdot q^2 - R(q + 1) \right) q - R \\ & = z_0 \cdot q^3 - R (q+1)q - R \\ & = z_0 \cdot q^3 - R\cdot (q^2+q) - R \\ & = z_0 \cdot q^3 - R\cdot (q^2 + q + 1) \end{split} $$

$$ \vdots $$

mozemy zapisac jako

$$ z_n = N \cdot q^n - R \cdot (q^{n-1} + q^n + \ldots + q + 1) $$

Gdzie czynnik $$q^{n-1} + q^n + \ldots + q + 1$$ to ciag geometryczny.

Poniewaz zadłużenie końcowe (w kroku n) wynosi 0 mamy dalej:

$$z_n = 0 = N \cdot q^n - R \cdot \frac{q^n-1}{q-1}\\$$

z powyzszego mozna wyprowadzic wzor na rate kredytu $$\boxed{R = N \cdot q^n \cdot \frac{q-1}{q^n-1}} $$ $$R = c + I$$

czesc kapitalowa moze byc wyliczona jako roznica kolejnych zadluzen

$$ c_0=0 $$

$$ c_1=z_0-z_1 $$

$$ \vdots $$

$$ c_l=z_{l-1} - z_l $$

i dalej korzystając z wzoru na z_n mamy

$$ c_l = z_{l-1} - z_l $$

$$ \big\Downarrow $$

$$ \begin{split} c_l & = N\cdot q^{l-1}-R\frac{q^{l-1}-1}{q-1} - \left( N\cdot q^l-R\frac{q^l-1}{q-1} \right) \\ & = N\cdot (q^{l-1} - q^l)-R\cdot (\frac{q^{l-1}-1}{q-1} - \frac{q^l-1}{q-1}) \\ & = N\cdot (q^{l-1}-q^l) - R\cdot (\frac{q^{l-1}-q^l}{q-1}) \\ & = (q^{l-1}-q^l)\cdot (N - R\cdot \frac{1}{q-1}) \\ \end{split} $$

podstawiajac R mamy

$$ \begin{split} c_l &= (q^{l-1}-q^l)\cdot \big(N - (\frac{N\cdot q^n\cdot(q-1)}{q^n-1}\cdot\frac{1}{q-1}) \big) \\ & = (q^{l-1}-q^l)\cdot \big(N - (\frac{N\cdot q^n}{q^n-1}) \big) \\ & = (q^{l-1}-q^l)\cdot \big( N \cdot (1 - \frac{q^n}{q^n-1} ) \big) \\ & = N\cdot(q^{l-1}-q^l)\cdot \big( \frac{-1}{q^n-1} \big) \\ \end{split} $$

Ostatecznie mamy czesc kapitalowa i odsetkowa dla raty R w miesiacu l

$$ \boxed{c_l = N\cdot\frac{q^l - q^{l-1}}{q^n-1}}\\ $$

$$ \boxed{I_l = R - c_l} $$

$$ \rule{2cm}{0.4pt} $$

Obliczenie okresu spłaty przy nadpłacie.

Zakładając jednorazową nadpłatę przy jednoczesnym zachowaniu wysokości raty ile czasu potrzeba na spłatę zobowiązania.

N' - kwota kredytu po nadpłacie

R' = R - rata miesieczna

n' - liczba miesiecy wymagana do spłaty N'

Wychodząc od wzoru na wysokość raty mozemy wyznaczyć n'

$$ R = R' = N' \cdot q^{n'} \cdot \frac{q-1}{q^{n'}-1} $$

$$ R\cdot(q^{n'}-1) = N'\cdot q^{n'}\cdot (q-1) \\ $$

porządkując względem n'

$$ q^{n'} = \frac{R}{R - N'\cdot(q-1)} $$

$$ \boxed{ n' = \log_q{ \left[ \frac{R}{R - N' \cdot \left( q-1 \right) } \right] }} $$

Dla obliczeń korzystając z tozsamosci

$$ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $$

otrzymamy

$$ n' = \ln{ \left[ \frac{R}{R - N' \cdot \left( q-1 \right)} \right] } \cdot \ln^{-1}{q} $$

$$ \rule{2cm}{0.4pt} $$

wersja PDF dostepna %LINK%

Opracowane na potrzeby https://przeliczrate.pl